22. Постройте график функции \(y=\frac{4x-5}{4x^2-5x}\). Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Разложим знаменатель на множители: \(4x^2-5x=x(4x-5)\). Поэтому график задан формулой \(y=\frac1x\), но при \(x=\frac54\) исходная функция не определена; кроме того, \(x=0\) не входит в область определения. График — гипербола \(y=1/x\) с выколотой точкой \((\frac54,\frac45)\).

Точки пересечения с прямой \(y=kx\) удовлетворяют \(\frac1x=kx\), то есть \(kx^2=1\). При \(k>0\) получаются две точки с абсциссами \(x=\pm1/\sqrt{k}\). Одна из них исключена из графика, если \(1/\sqrt{k}=5/4\), откуда \(k=16/25\). При остальных значениях k пересечений либо две, либо ни одной.

Ответ: \(k=\frac{16}{25}\).