22. Постройте график функции \(y=\frac{8x+1}{9x^2+x}\). Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: \(x\ne0\), \(x\ne-\frac19\). Для пересечения с прямой \(y=kx\) требуется

\[\frac{8x+1}{9x^2+x}=kx\quad\Longleftrightarrow\quad9kx^3+kx^2-8x-1=0.\]

При \(k=0\) получается единственный корень \(x=-\frac18\), допустимый в исходной функции.

При \(k\ne0\) дискриминант кубического уравнения равен \(D=k(4k^2-827k+18432)\). Кубическое уравнение имеет ровно один действительный корень при \(D<0\). Обозначим \(r_1=\frac{827-\sqrt{389017}}8\), \(r_2=\frac{827+\sqrt{389017}}8\).

График функции изображён ниже; область определения исключает вертикальные асимптоты \(x=0\) и \(x=-\frac19\).

Ответ: \(k=0\) или \(\frac{827-\sqrt{389017}}8<k<\frac{827+\sqrt{389017}}8\).