23. Биссектрисы углов \(A\) и \(B\) при боковой стороне \(AB\) трапеции \(ABCD\) пересекаются в точке \(F\). Найдите \(AB\), если \(AF=12\), \(BF=5\).

Точка \(F\) лежит на биссектрисах углов \(A\) и \(B\), поэтому в треугольнике \(ABF\):

\[\angle FAB=\frac{A}{2},\qquad \angle ABF=\frac{B}{2}.\]

Так как основания трапеции параллельны, углы \(A\) и \(B\), прилежащие к боковой стороне \(AB\), в сумме дают \(180^\circ\). Следовательно,

\[\angle FAB+\angle ABF=90^\circ,\]

поэтому \(\angle AFB=90^\circ\). Треугольник \(AFB\) прямоугольный, и \(AB\) — его гипотенуза:

\[AB=\sqrt{AF^2+BF^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13.\]

Ответ: 13.