22. Постройте график функции $$y = \frac{(x^2+6,25)(x+1)}{-1-x}$$. Определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Упростим функцию:

\[ y = \frac{(x^2+6.25)(x+1)}{-(1+x)} \]

При \( x \neq -1 \), мы можем сократить \( (x+1) \):

\[ y = -(x^2+6.25) \]

\[ y = -x^2 - 6.25 \]

Это парабола с вершиной в точке \( (0; -6.25) \), ветви которой направлены вниз. При \( x = -1 \), значение функции не определено, поэтому на графике будет выколотая точка \( (-1; -7.25) \), так как \( y = -(-1)^2 - 6.25 = -1 - 6.25 = -7.25 \).

Теперь найдём, при каких значениях \( k \) прямая \( y=kx \) (проходящая через начало координат) имеет ровно одну общую точку с графиком \( y = -x^2 - 6.25 \) (исключая выколотую точку).

Приравниваем уравнения:

\[ kx = -x^2 - 6.25 \]

\[ x^2 + kx + 6.25 = 0 \]

Для того чтобы прямая имела ровно одну общую точку с параболой, это квадратное уравнение должно иметь ровно один корень. Это происходит, когда дискриминант равен нулю:

\[ D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6.25 = 0 \]

\[ k^2 - 25 = 0 \]

\[ k^2 = 25 \]

\[ k = \pm 5 \]

Теперь проверим, не является ли одна из точек пересечения выколотой.

Если \( k=5 \), то \( x^2 + 5x + 6.25 = 0 \). \( x = \frac{-5 \pm \sqrt{0}}{2} = -2.5 \). Точка пересечения \( (-2.5; -12.5) \). Эта точка не совпадает с выколотой.

Если \( k=-5 \), то \( x^2 - 5x + 6.25 = 0 \). \( x = \frac{5 \pm \sqrt{0}}{2} = 2.5 \). Точка пересечения \( (2.5; -12.5) \). Эта точка не совпадает с выколотой.

Также нужно рассмотреть случай, когда прямая \( y=kx \) проходит через выколотую точку \( (-1; -7.25) \). В этом случае \( -7.25 = k(-1) \), то есть \( k = 7.25 \). В этом случае прямая будет иметь одну общую точку с параболой, кроме выколотой.

Ответ: Прямая \( y=kx \) имеет ровно одну общую точку с графиком при \( k = 5 \) и \( k = -5 \).