22. Постройте график функции y = ((x² + 1)(x − 2))/(2 − x). Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

При \(x\ne2\) имеем \((x-2)/(2-x)=-1\), поэтому функция задаётся формулой \(y=-(x^2+1)\), но точка графика при \(x=2\) отсутствует. Это парабола, направленная ветвями вниз, с выколотой точкой \((2,-5)\).

Точки пересечения с прямой \(y=kx\) удовлетворяют уравнению \(-(x^2+1)=kx\), то есть \(x^2+kx+1=0\), причём \(x\ne2\). Дискриминант равен \(k^2-4\). При \(|k|<2\) действительных корней нет, при \(k=\pm2\) есть один корень, а при \(|k|>2\) — два.

Нужно также учесть выколотую точку: при \(x=2\) уравнение пересечения выполняется, если \(4+2k+1=0\), то есть при \(k=-5/2\). Тогда один из двух корней не принадлежит графику, и остаётся ровно одна общая точка.

Ответ: \(k\le -2\) или \(k\ge 2\).