22. Постройте график функции y = x² + 14|x - 3|x + 8| + 48. Определите, при каких значениях т прямая y = т имеет с графиком ровно три общие точки.

Привет! Давай построим этот график и найдем нужные значения.

Анализ функции:

Функция $$y = x^2 + 14|x - 3|x + 8| + 48$$ выглядит сложновато из-за модулей. Давай сначала разберемся с ними.

• Модуль $$|x - 3|$$:
• Если $$x - 3 \ge 0$$, то есть $$x \ge 3$$, то $$|x - 3| = x - 3$$.
• Если $$x - 3 < 0$$, то есть $$x < 3$$, то $$|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$$.
• Модуль $$|x + 8|$$:
• Если $$x + 8 \ge 0$$, то есть $$x \ge -8$$, то $$|x + 8| = x + 8$$.
• Если $$x + 8 < 0$$, то есть $$x < -8$$, то $$|x + 8| = -(x + 8) = -x - 8$$.

Из-за того, что в выражении присутствует произведение $$|x-3|x+8|$$, нам нужно рассмотреть случаи, когда выражения под модулями меняют знак. Точки, где это происходит: $$x=3$$ и $$x=-8$$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала:

1. $$x < -8$$
2. $$-8 \le x < 3$$
3. $$x \ge 3$$

Рассмотрим каждый интервал:

Случай 1: $$x < -8$$

В этом случае $$|x - 3| = 3 - x$$ и $$|x + 8| = -x - 8$$. Функция примет вид:

\[ y = x^2 + 14(3 - x)(-x - 8) + 48 \]

$$y = x^2 + 14(-3x - 24 + x^2 + 8x) + 48$$

$$y = x^2 + 14(x^2 + 5x - 24) + 48$$

$$y = x^2 + 14x^2 + 70x - 336 + 48$$

$$y = 15x^2 + 70x - 288$$

Случай 2: $$-8 \le x < 3$$

В этом случае $$|x - 3| = 3 - x$$ и $$|x + 8| = x + 8$$. Функция примет вид:

\[ y = x^2 + 14(3 - x)(x + 8) + 48 \]

$$y = x^2 + 14(3x + 24 - x^2 - 8x) + 48$$

$$y = x^2 + 14(-x^2 - 5x + 24) + 48$$

$$y = x^2 - 14x^2 - 70x + 336 + 48$$

$$y = -13x^2 - 70x + 384$$

Случай 3: $$x \ge 3$$

В этом случае $$|x - 3| = x - 3$$ и $$|x + 8| = x + 8$$. Функция примет вид:

\[ y = x^2 + 14(x - 3)(x + 8) + 48 \]

$$y = x^2 + 14(x^2 + 8x - 3x - 24) + 48$$

$$y = x^2 + 14(x^2 + 5x - 24) + 48$$

$$y = x^2 + 14x^2 + 70x - 336 + 48$$

$$y = 15x^2 + 70x - 288$$

График:

Для построения графика нам нужно найти значения функции на границах интервалов и вершины парабол. Однако, из-за сложности функции и необходимости точного построения, лучше воспользоваться инструментом для построения графиков.

Анализ для определения числа точек пересечения с прямой y = m:

Прямая $$y = m$$ является горизонтальной линией. Количество точек пересечения графика функции с этой прямой зависит от значения $$m$$.

Исследуем поведение функции на каждом интервале:

• Интервал $$x < -8$$: $$y = 15x^2 + 70x - 288$$. Это парабола ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке $$x = -\frac{70}{2 \cdot 15} = -\frac{70}{30} = -2.33$$. Так как $$-2.33$$ не попадает в интервал $$x < -8$$, функция на этом интервале монотонно убывает (т.к. $$-8$$ левее вершины).
• Интервал $$-8 \le x < 3$$: $$y = -13x^2 - 70x + 384$$. Это парабола ветвями вниз. Вершина параболы находится в точке $$x = -\frac{-70}{2 \cdot (-13)} = -\frac{70}{26} \approx -2.69$$. Эта точка попадает в интервал $$[-8, 3)$$. Значение функции в вершине будет локальным максимумом.
• Интервал $$x \ge 3$$: $$y = 15x^2 + 70x - 288$$. Это парабола ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке $$x = -2.33$$. Так как $$-2.33$$ не попадает в интервал $$x \ge 3$$, функция на этом интервале монотонно возрастает.

Для того чтобы прямая $$y=m$$ имела ровно три общие точки, она должна проходить через:

• Локальный максимум на интервале $$[-8, 3)$$, и при этом пересекать один из