22. Постройте график функции y = x² + 14x - 3|x + 8| + 48. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение:

Рассмотрим функцию $$y = x^2 + 14x - 3|x + 8| + 48$$.

Раскроем модуль, учитывая два случая:

1. Случай 1: $$x + 8 \ge 0$$, то есть $$x \ge -8$$.
   Тогда $$|x + 8| = x + 8$$.
   \[ y = x^2 + 14x - 3(x + 8) + 48 \]
   \[ y = x^2 + 14x - 3x - 24 + 48 \]
   \[ y = x^2 + 11x + 24 \]
2. Случай 2: $$x + 8 < 0$$, то есть $$x < -8$$.
   Тогда $$|x + 8| = -(x + 8)$$.
   \[ y = x^2 + 14x - 3(-(x + 8)) + 48 \]
   \[ y = x^2 + 14x + 3(x + 8) + 48 \]
   \[ y = x^2 + 14x + 3x + 24 + 48 \]
   \[ y = x^2 + 17x + 72 \]

Теперь построим график, состоящий из двух парабол:

Для $$x \ge -8$$ ($$y = x^2 + 11x + 24$$):

• Вершина параболы: $$x_в = \frac{-11}{2} = -5.5$$.
  $$y_в = (-5.5)^2 + 11(-5.5) + 24 = 30.25 - 60.5 + 24 = -6.25$$.
  Вершина: $$(-5.5, -6.25)$$.
• Точки пересечения с осью X: $$x^2 + 11x + 24 = 0$$.
  $$(x+3)(x+8) = 0$$, $$x=-3$$ и $$x=-8$$.
• Точка при $$x=-8$$: $$y = (-8)^2 + 11(-8) + 24 = 64 - 88 + 24 = 0$$.

Для $$x < -8$$ ($$y = x^2 + 17x + 72$$):

• Вершина параболы: $$x_в = \frac{-17}{2} = -8.5$$.
  $$y_в = (-8.5)^2 + 17(-8.5) + 72 = 72.25 - 144.5 + 72 = -0.25$$.
  Вершина: $$(-8.5, -0.25)$$.
• Точки пересечения с осью X: $$x^2 + 17x + 72 = 0$$.
  $$(x+8)(x+9) = 0$$, $$x=-8$$ и $$x=-9$$.
• Точка при $$x=-8$$: $$y = (-8)^2 + 17(-8) + 72 = 64 - 136 + 72 = 0$$.

График:

Анализ графика:

Прямая $$y=m$$ имеет ровно три общие точки с графиком функции в двух случаях:

1. Когда прямая проходит через вершину одной из парабол, а также пересекает вторую параболу в двух точках.
2. Когда прямая проходит через точку стыка двух парабол ($$x=-8, y=0$$) и пересекает одну из парабол еще в одной точке.

Рассмотрим вершины парабол:

• Первая парабола ($$x ≥ -8$$) имеет вершину в точке $$(-5.5, -6.25)$$. Если $$m = -6.25$$, то прямая $$y = -6.25$$ будет касаться этой параболы в вершине (1 точка) и пересечет вторую параболу ($$y = x^2 + 17x + 72$$) в двух точках (так как ее вершина имеет $$y_в = -0.25$$, что выше $$y = -6.25$$). Итого 3 точки.
• Вторая парабола ($$x < -8$$) имеет вершину в точке $$(-8.5, -0.25)$$. Если $$m = -0.25$$, то прямая $$y = -0.25$$ будет касаться этой параболы в вершине (1 точка) и пересечет первую параболу ($$y = x^2 + 11x + 24$$) в двух точках (так как ее вершина $$y_в = -6.25$$, что ниже $$y = -0.25$$). Итого 3 точки.
• Точка стыка двух парабол — $$(-8, 0)$$. Если $$m=0$$, прямая $$y=0$$ пройдет через эту точку (1 точка) и пересечет вторую параболу $$x^2 + 17x + 72 = 0$$ в точке $$x=-9$$ (второй корень $$x=-8$$ уже учтен). Также, прямая $$y=0$$ пересечет первую параболу $$x^2 + 11x + 24 = 0$$ в точке $$x=-3$$. Таким образом, при $$m=0$$ мы имеем 3 точки: $$(-8, 0)$$, $$(-9, 0)$$ и $$(-3, 0)$$.

Ответ: $$m = -6.25$$, $$m = -0.25$$, $$m = 0$$