22. Постройте график функции $y=x^2-7x-5|x-3|+12$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: 22. Постройте график функции $y=x^2-7x-5|x-3|+12$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком…$ Фото задания

22. Постройте график функции $y=x^2-7x-5|x-3|+12$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Accepted Answer

Раскроем модуль по промежуткам:

При $x<3$: $y=x^2-7x-5(3-x)+12=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$.

При $x\ge 3$: $y=x^2-7x-5(x-3)+12=x^2-12x+27=(x-6)^2-9$.

График состоит из левой ветви параболы $y=(x-1)^2-4$, ограниченной условием $x<3$, и правой ветви $y=(x-6)^2-9$, при $x\ge3$. В точке стыка обе формулы дают $y=-3$. Вершины ветвей: $(1,-4)$ и $(6,-9)$.

На левой ветви горизонталь $y=m$ пересекает график в двух точках при $-4<m<0$, в одной при $m=-4$ и в одной при $m=0$ (точка стыка учитывается один раз). На правой ветви пересечений две при $-9<m<-3$, одна при $m=-9$; при $m=-3$ пересечение на границе — это та же точка стыка.

Итого ровно три точки получаются при $-9<m<-4$: две на правой ветви и одна на левой; а также при $m=-4$: одна на левой ветви и две на правой.

Ответ: $m\in(-9,-4]$.

22. Постройте график функции \(y=x^2-7x-5|x-3|+12\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: