25. В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 13 : 12, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 10.

Обозначим точку пересечения биссектрисы угла \(A\) с высотой из \(B\) через \(D\), а основание высоты — через \(H\). Тогда \(BD:DH=13:12\).

Поскольку \(AD\) — биссектриса угла \(A\), из соотношения частей высоты следует, что треугольник \(ABH\) подобен треугольнику со сторонами \(5,12,13\). Поэтому

\(\sin A=\frac{BH}{AB}=\frac{5}{13}\).

Используем формулу радиуса описанной окружности:

\(BC=2R\sin A\).

Подставим данные:

\(10=2R\cdot\frac{5}{13}\), откуда \(R=13\).

Ответ: 13.