24. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Докажите, что углы $AA_1C_1$ и $ACC_1$ равны.

Question

Вопрос: $Фото задания: 24. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Докажите, что углы $AA_1C_1$ и $ACC_1$…$ Фото задания

24. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Докажите, что углы $AA_1C_1$ и $ACC_1$ равны.

Accepted Answer

Так как $AA_1\perp BC$, а $CC_1\perp AB$, угол между прямыми $AA_1$ и $AC_1$ требует уточнения положения точки $C_1$: по условию $C_1$ — основание высоты из $C$ на $AB$, поэтому точки $A,C_1,B$ лежат на одной прямой. Значит, $AC_1$ лежит на $AB$, и $\angle AA_1C_1=90^\circ$.

С другой стороны, $CC_1\perp AB$, а $AC$ в общем случае не перпендикулярна $AB$, поэтому $\angle ACC_1$ не обязана быть прямым. Например, для остроугольного треугольника с углом $A=60^\circ$ это угол между $AC$ и высотой $CC_1$, равный $30^\circ$, а не $90^\circ$. Утверждение в приведённом виде неверно; вероятно, в названии одного из углов допущена опечатка.

Для доказательства требуется уточнённая формулировка.

24. В остроугольном треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AA_1\) и \(CC_1\). Докажите, что углы \(AA_1C_1\) и \(ACC_1\) равны.

Ответ: