22. Постройте график функции y = { x²+2x+1 при x ≥ -4, 36/x при x < -4. } Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком одну или две общие точки.

Краткое пояснение:

Для решения задачи необходимо построить график кусочно-заданной функции, а затем определить, при каких значениях m горизонтальная линия y = m будет пересекать график в одной или двух точках.

Построение графика:

Первая часть функции: y = x² + 2x + 1 при x ≥ -4

• Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершину параболы можно найти, выделив полный квадрат: y = (x + 1)². Вершина находится в точке (-1, 0).
• Найдем значение функции на границе интервала x = -4: y = (-4 + 1)² = (-3)² = 9. Точка (-4, 9).
• Начало луча будет включать точку (-4, 9).

Вторая часть функции: y = 36/x при x < -4

• Это гипербола, расположенная в II и IV координатных четвертях.
• Нас интересует часть графика при x < -4, то есть во II координатной четверти.
• Найдем значение функции на границе интервала x = -4: y = 36 / (-4) = -9. Точка (-4, -9).
• Эта точка не включается в график (кружок).
• Возьмем несколько точек для построения: x = -6, y = 36 / (-6) = -6; x = -12, y = 36 / (-12) = -3.

Анализ пересечений с прямой y = m:

Теперь построим горизонтальные линии y = m и посмотрим, сколько точек пересечения они имеют с графиком:

• Одна точка пересечения:
  • Если m > 9, то прямая пересекает параболу один раз.
  • Если m = 9, то прямая пересекает параболу в двух точках: (-4, 9) и еще одну точку на параболе.
  • Если m = 0, то прямая пересекает параболу в одной точке (вершина).
  • Если -9 < m < 0, то прямая пересекает параболу в двух точках.
  • Если m = -9, то прямая пересекает параболу в одной точке и гиперболу в одной точке (-4, -9 - но эта точка для гиперболы не включена, поэтому это одна точка пересечения графика).
  • Если m < -9, то прямая пересекает гиперболу один раз.
• Две точки пересечения:
  • Если 0 < m < 9, то прямая пересекает параболу в двух точках.

Вывод:

Прямая y = m имеет одну или две общие точки с графиком функции при следующих значениях m:

• Одна точка: m > 9, m = -9, m < -9.
• Две точки: 0 < m < 9.

Ответ: Прямая y = m имеет одну или две общие точки с графиком при m > 9, m = -9, m < -9, и при 0 < m < 9.