22. Постройте график функции y = x² − 6x + 13, если x ≥ 2; y = 2,5x, если x < 2, и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Для построения удобно представить квадратичную часть в виде y = (x − 3)² + 4. Это ветвь параболы с вершиной (3; 4), взятая только при x ≥ 2. При x < 2 график — часть прямой y = 2,5x; точка (2; 5) принадлежит графику за счёт квадратичной ветви.

Рассмотрим пересечения с горизонтальной прямой y = m.

1. На линейной части при m < 5 есть одна точка пересечения: x = m/2,5 < 2. При m ≥ 5 на этой части пересечений нет.
2. На параболической части решаем (x − 3)² + 4 = m при x ≥ 2. При m < 4 решений нет; при m = 4 есть одна точка; при 4 < m < 5 — две точки; при m ≥ 5 — также две точки.

При m = 4 к одной точке параболической части добавляется одна точка линейной части: всего две. При 4 < m < 5 получаются три точки. При m ≥ 5 остаются ровно две точки параболической части.

Ответ: m = 4 или m ≥ 5.