24. В параллелограмме ABCD точки E, F, K и M лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём AE = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM — параллелограмм.

Обозначим векторы AB и AD через u и v, а длины сторон AB и AD — через |u| и |v|. Пусть AE = CK = t|u|, а BF = DM = r|v|, где 0 ≤ t, r ≤ 1.

Выберем A за начало координат. Тогда B = u, D = v, C = u + v. Из расположения точек на сторонах получаем E = tu, F = u + rv, K = v + (1 − t)u, M = (1 − r)v.

Найдём суммы радиус-векторов противоположных вершин: E + K = tu + v + (1 − t)u = u + v; F + M = u + rv + (1 − r)v = u + v. Следовательно, середины диагоналей EK и FM совпадают.

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Значит, EFKM — параллелограмм.