22 Постройте график функции y = x² + 6x + 7. при х ≥ -4 y= |x+10| при х < -4 Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

1. Построение графика функции \( y = x^2 + 6x + 7 \) при \( x \ge -4 \):

Это парабола. Найдем вершину параболы:

\( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3 \)

\( y_в = (-3)^2 + 6(-3) + 7 = 9 - 18 + 7 = -2 \)

Вершина параболы: \( (-3; -2) \).

Так как \( x \ge -4 \), ветви параболы идут от \( x = -4 \) до \( +\infty \).

Найдем значение функции при \( x = -4 \):

\( y = (-4)^2 + 6(-4) + 7 = 16 - 24 + 7 = -1 \)

Точка на графике: \( (-4; -1) \).

2. Построение графика функции \( y = |x+10| \) при \( x < -4 \):

График \( y = |x+10| \) — это V-образная линия. Вершина находится в точке \( x = -10 \), \( y = 0 \).

При \( x < -4 \), функция раскрывается как \( y = -(x+10) \) (потому что \( x+10 < 0 \) при \( x < -4 \)).

Найдем значение функции при \( x = -4 \) (предельное значение, которое не включается в график):

\( y = |-4 + 10| = |6| = 6 \)

Точка на графике: \( (-4; 6) \) (выколотая).

3. Определение значений \( m \), при которых прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки:

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная линия.

Рассмотрим пересечения с частями графика:

• С частью параболы \( y = x^2 + 6x + 7 \) при \( x \ge -4 \):
• Если \( m = -2 \) (вершина), то одна точка пересечения.
• Если \( -2 < m < -1 \), то две точки пересечения.
• Если \( m = -1 \), то одна точка пересечения \( (-4; -1) \) (так как \( x \ge -4 \)).
• Если \( m > -1 \), то две точки пересечения.
• С частью \( y = |x+10| \) при \( x < -4 \):
• Если \( m < 0 \), то нет точек пересечения.
• Если \( m = 0 \), то одна точка пересечения \( (-10; 0) \).
• Если \( 0 < m < 6 \), то две точки пересечения.
• Если \( m = 6 \), то одна точка пересечения \( (-4; 6) \) (выколотая).
• Если \( m > 6 \), то две точки пересечения.

Нам нужно найти \( m \), при которых всего две точки пересечения.

Объединяем случаи:

• Две точки пересечения с параболой: \( -2 < m < -1 \) или \( m > -1 \).
• Две точки пересечения с \( y = |x+10| \): \( 0 < m < 6 \) или \( m > 6 \).

Чтобы общее число точек пересечения было равно двум, должны выполняться следующие условия:

1. Две точки с параболой и ноль с \( y = |x+10| \) — невозможно, так как \( y \ge 0 \) для \( y = |x+10| \) и \( y=-2 \) для вершины параболы.
2. Одна точка с параболой и одна точка с \( y = |x+10| \):
• Если \( m = -1 \) (одна точка с параболой), то \( y = |x+10| \) имеет две точки при \( 0 < m < 6 \) или \( m > 6 \), что не подходит.
• Если \( m = 0 \) (одна точка с \( y = |x+10| \)), то \( y = x^2 + 6x + 7 \) при \( x > -4 \) имеет две точки, если \( -2 < m < -1 \) или \( m > -1 \). Так как \( m=0 \), подходит, что \( m > -1 \).
3. Ноль точек с параболой и две точки с \( y = |x+10| \) — невозможно, так как для \( y=m \) с параболой всегда есть точки при \( m \ge -2 \).

Рассмотрим значения \( m \), которые дают ровно две точки:

• Если \( m \) находится между вершиной параболы и точкой \( (-4;-1) \), то есть \( -2 < m < -1 \). В этом случае будет две точки пересечения с параболой и ноль с \( y = |x+10| \) (так как \( y \ge 0 \)). Итого 2 точки.
• Если \( m > 6 \), то будет две точки пересечения с параболой (так как \( m > -1 \)) и две точки пересечения с \( y = |x+10| \). Итого 4 точки.
• Если \( 0 < m < 6 \), то будет две точки пересечения с параболой (так как \( m > -1 \)) и две точки пересечения с \( y = |x+10| \). Итого 4 точки.
• Если \( m = -1 \), то одна точка с параболой \( (-4;-1) \) и ноль точек с \( y = |x+10| \). Итого 1 точка.
• Если \( m = 0 \), то одна точка с \( y = |x+10| \) \( (-10;0) \) и две точки с параболой \( y=x^2+6x+7 \), так как \( 0 > -1 \). Итого 3 точки.
• Если \( m = -2 \), то одна точка с параболой \( (-3;-2) \) и ноль точек с \( y = |x+10| \). Итого 1 точка.

Единственный случай, когда получается ровно две точки пересечения, это когда \( m \) находится между вершиной параболы и значением \( y \) в точке \( x = -4 \) для параболы, то есть \( -2 < m < -1 \).

Ответ: \( -2 < m < -1 \).