22. Постройте график функции y=|x|(x−1)−2x. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Раскроем модуль по случаям:

При \(x\ge 0\): \(y=x(x-1)-2x=x^2-3x\).

При \(x<0\): \(y=-x(x-1)-2x=-x^2-x\).

Следовательно, график задаётся функцией

\[y=\begin{cases}-x^2-x,&x<0,\\x^2-3x,&x\ge0.\end{cases}\]

На луче \(x<0\) имеем ветвь параболы с вершиной \((- frac12, frac14)\), причём при \(x\to-\infty\) значение \(y\to-\infty\), а при \(x\to0-\) значение \(y\to0\).

На луче \(x\ge0\) имеем ветвь параболы с вершиной \(( frac32,- frac94)\); она проходит через точки \((0,0)\) и \((3,0)\).

Горизонтальная прямая \(y=m\) пересекает левую ветвь дважды при \(m<0\), один раз при \(m=0\), дважды при \(00\).

Подсчёт общего числа пересечений даёт ровно две точки при \(m=- frac94\), \(- frac94

Ответ: \(m\in[- frac94,0]\cup\{ frac14\}\).