25. Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 20 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=√5/3.

Пусть искомая окружность касается луча \(AB\) в точке \(T\), а её центр — \(O\). Так как окружность проходит через \(M\) и \(N\), а точки \(M,N\) лежат на луче \(AC\), окружность пересекает луч \(AC\) в этих точках.

Для окружности, проходящей через две точки на луче \(AC\) и касающейся луча \(AB\), используется степенное свойство точки \(A\):

\[AT^2=AM\cdot AN=9\cdot20=180.\]

Следовательно, \(AT=6\sqrt5\).

В треугольнике \(ATC\) угол при \(A\) равен \(\angle BAC\), а радиус окружности равен расстоянию от центра до касательной. Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом и перпендикуляром к лучу \(AB\), получаем

\[R=AT\sin\angle BAC.\]

Так как \(\cos\angle BAC=\frac{\sqrt5}{3}\), то

\[\sin\angle BAC=\sqrt{1-\frac59}=\frac23.\]

Поэтому

\[R=6\sqrt5\cdot\frac23=4\sqrt5.\]

Ответ: \(4\sqrt5\).