22. Постройте график функции y = x|x| + 2|x| - 5x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Рассмотрим функцию \( y = x|x| + 2|x| - 5x \). Определим вид функции в зависимости от знака \( x \).

1. Если \( x \ge 0 \), то \( |x| = x \).

\[ y = x(x) + 2(x) - 5x = x^2 + 2x - 5x = x^2 - 3x \]

2. Если \( x < 0 \), то \( |x| = -x \).

\[ y = x(-x) + 2(-x) - 5x = -x^2 - 2x - 5x = -x^2 - 7x \]

Теперь построим график:

1. Для \( x \ge 0 \): \( y = x^2 - 3x = x(x-3) \). Это парабола с ветвями вверх, нулями в \( x=0 \) и \( x=3 \). Вершина параболы находится в \( x = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = 1.5 \). При \( x = 1.5 \), \( y = (1.5)^2 - 3(1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25 \).
2. Для \( x < 0 \): \( y = -x^2 - 7x = -x(x+7) \). Это парабола с ветвями вниз, нулями в \( x=0 \) и \( x=-7 \). Вершина параболы находится в \( x = -\frac{-7}{2 \cdot (-1)} = -3.5 \). При \( x = -3.5 \), \( y = -(-3.5)^2 - 7(-3.5) = -12.25 + 24.5 = 12.25 \).

График состоит из двух частей парабол.

Прямая \( y = m \) будет иметь с графиком ровно две общие точки в следующих случаях:

• Когда \( y=m \) проходит через вершину параболы \( y = x^2 - 3x \) (для \( x \ge 0 \)), то есть \( m = -2.25 \). В этом случае будет одна точка на этой ветви параболы и одна точка на другой ветви.
• Когда \( y=m \) проходит через вершину параболы \( y = -x^2 - 7x \) (для \( x < 0 \)), то есть \( m = 12.25 \). В этом случае будет одна точка на этой ветви параболы и одна точка на другой ветви.
• Когда \( y=m \) проходит через точки пересечения двух парабол, кроме \( x=0 \). В данном случае это только \( x=0 \), где \( y=0 \).
• Когда \( y=m \) ниже вершины \( x^2-3x \) и выше нуля.
• Когда \( y=m \) ниже нуля на ветви \( x^2-3x \) и выше вершины \( -x^2-7x \).

Рассмотрим значения \( m \) для двух общих точек:

• Когда \( m = -2.25 \), прямая \( y = -2.25 \) пересекает график в двух точках (одна точка на \( y=x^2-3x \) и одна точка на \( y=-x^2-7x \)).
• Когда \( m = 12.25 \), прямая \( y = 12.25 \) пересекает график в двух точках (одна точка на \( y=-x^2-7x \) и одна точка на \( y=x^2-3x \)).

Также, если \( m > 0 \) и \( m < 12.25 \), то будет две точки на \( y=-x^2-7x \).

И если \( m < -2.25 \), то будет две точки на \( y=x^2-3x \).

Нам нужны случаи, когда прямая \( y=m \) пересекает график ровно в двух точках.

1. Если \( m = -2.25 \), то одна точка на \( y = x^2-3x \) (вершина) и одна точка на \( y=-x^2-7x \). Всего 2 точки.
2. Если \( m = 12.25 \), то одна точка на \( y = -x^2-7x \) (вершина) и одна точка на \( y=x^2-3x \). Всего 2 точки.
3. Если \( m < -2.25 \), то две точки на \( y = x^2-3x \).
4. Если \( 0 < m < 12.25 \), то две точки на \( y = -x^2-7x \).

Значит, \( m \) может быть равно \( -2.25 \) или \( 12.25 \). Также \( m < -2.25 \) или \( 0 < m < 12.25 \).

Объединяя эти условия, мы получаем:

\[ m \in (-\infty, -2.25] \cup (0, 12.25) \]

Проверим случай \( m=0 \). При \( x=0 \) \( y=0 \). При \( x>0 \) \( y=x^2-3x=0 \) -> \( x=3 \). При \( x<0 \) \( y=-x^2-7x=0 \) -> \( x=-7 \). Таким образом, при \( m=0 \) 3 точки. Поэтому \( m=0 \) не входит в ответ.

Ответ: \( m \in (-\infty, -2.25] \cup (0, 12.25) \)