24. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции.

Решение:

Пусть \( AD = a \) и \( BC = b \) — основания трапеции. Пусть \( h \) — высота трапеции.

Площадь трапеции \( S_{ABCD} = \frac{a+b}{2} h \).

Пусть \( MN \) — средняя линия трапеции, где \( M \) на \( AB \) и \( N \) на \( CD \). Длина средней линии \( MN = \frac{a+b}{2} \).

Точка \( E \) выбрана на средней линии \( MN \).

Пусть \( h_1 \) — высота треугольника \( AED \) от точки \( E \) до основания \( AD \). Пусть \( h_2 \) — высота треугольника \( BEC \) от точки \( E \) до основания \( BC \).

Так как \( E \) лежит на средней линии, которая находится на равном расстоянии от оснований, то \( h_1 = h_2 = \frac{h}{2} \).

Площадь треугольника \( AED \):

\[ S_{AED} = \frac{1}{2} × AD × h_1 = \frac{1}{2} a × \frac{h}{2} = \frac{ah}{4} \]

Площадь треугольника \( BEC \):

\[ S_{BEC} = \frac{1}{2} × BC × h_2 = \frac{1}{2} b × \frac{h}{2} = \frac{bh}{4} \]

Сумма площадей треугольников \( BEC \) и \( AED \):

\[ S_{AED} + S_{BEC} = \frac{ah}{4} + \frac{bh}{4} = \frac{(a+b)h}{4} \]

Площадь трапеции \( S_{ABCD} = \frac{(a+b)h}{2} \).

Сравнивая сумму площадей треугольников с площадью трапеции:

\[ \frac{(a+b)h}{4} = \frac{1}{2} × \frac{(a+b)h}{2} = \frac{1}{2} S_{ABCD} \]

Таким образом, сумма площадей треугольников \( BEC \) и \( AED \) равна половине площади трапеции.

Доказано.