24. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции.

Пусть $$h$$ - высота трапеции, $$BC = a$$, $$AD = b$$, и $$EF$$ - средняя линия трапеции, где $$E$$ лежит на $$EF$$. Тогда $$EF = (a+b)/2$$. Площадь трапеции $$S_{ABCD} = (a+b) * h / 2$$. Площадь треугольника $$BEC = a * (h/2) / 2 = a * h / 4$$. Площадь треугольника $$AED = b * (h/2) / 2 = b * h / 4$$. Сумма площадей $$S_{BEC} + S_{AED} = a * h / 4 + b * h / 4 = (a+b) * h / 4 = ((a+b) * h / 2) / 2 = S_{ABCD} / 2$$. Таким образом, сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции ABCD. Что и требовалось доказать.