22 В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 3√3. Найдите высоту пирамиды.

Решение:

В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны, сторона основания равна $$a = 3 ext{√}3$$. Боковое ребро $$l = 5$$.

Найдем апофему (высоту боковой грани), опустив перпендикуляр из вершины боковой грани на основание. В основании лежит равносторонний треугольник. Высота равностороннего треугольника со стороной $$a$$ равна $$h_a = rac{a ext{√}3}{2}$$.

Площадь основания: $$S_{осн} = rac{a^2 ext{√}3}{4} = rac{(3 ext{√}3)^2 ext{√}3}{4} = rac{27 ext{√}3}{4}$$.

Центр основания (точка О) делит высоту основания в отношении 2:1. Расстояние от центра основания до середины стороны основания равно $$r = rac{1}{3}h_a = rac{1}{3} rac{3 ext{√}3 ext{√}3}{2} = rac{1}{3} rac{9}{2} = rac{3}{2}$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $$h$$, радиусом вписанной окружности $$r$$ и боковым ребром $$l$$. По теореме Пифагора:

$$l^2 = h^2 + r^2$$

$$5^2 = h^2 + (rac{3}{2})^2$$

$$25 = h^2 + rac{9}{4}$$

$$h^2 = 25 - rac{9}{4} = rac{100 - 9}{4} = rac{91}{4}$$

$$h = ext{√}rac{91}{4} = rac{ ext{√}91}{2}$$

Ответ: $$rac{ ext{√}91}{2}$$