23 В правильной треугольной пирамиде SABC точка Q — середина ребра AB, S — вершина. Известно, что BC = 5, а площадь боковой поверхности равна 45. Найдите длину отрезка SQ.

Решение:

В правильной треугольной пирамиде основание — равносторонний треугольник. Сторона основания $$a = BC = 5$$. Площадь боковой поверхности $$S_{бок} = 45$$.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды вычисляется по формуле: $$S_{бок} = rac{1}{2}P_{осн} imes h_a$$, где $$P_{осн}$$ — периметр основания, $$h_a$$ — апофема (высота боковой грани).

Периметр основания: $$P_{осн} = 3 imes a = 3 imes 5 = 15$$.

Найдем апофему:

$$45 = rac{1}{2} imes 15 imes h_a$$

$$90 = 15 imes h_a$$

$$h_a = rac{90}{15} = 6$$

Апофема $$SQ$$ является высотой боковой грани $$SAB$$. Точка Q — середина ребра AB. В равнобедренном треугольнике $$SAB$$, $$SQ$$ является и высотой, и медианой. Длина апофемы $$h_a = SQ = 6$$.

Ответ: 6