221. Даны треугольник ABC и точки M и N такие, что середина отрезка BM совпадает с серединой стороны AC, а середина отрезка CN — с серединой стороны AB. Докажите, что точки M, N и A лежат на одной прямой.

Обозначим через O середину AC, а через P — середину AB. По условию O одновременно является серединой BM, а P — серединой CN.

1. Из того, что O — середина AC и BM, следует: диагонали четырёхугольника ABCM — отрезки AC и BM — пересекаются и делятся пополам. Поэтому ABCM — параллелограмм, а его противоположные стороны AM и BC параллельны.
2. Аналогично, поскольку P — середина AB и CN, диагонали AB и CN четырёхугольника ACNB делятся пополам. Значит, ACNB — параллелограмм, поэтому AN параллельна CB.
3. Итак, AM и AN проходят через A и обе параллельны BC. Через точку A проходит единственная прямая, параллельная BC, следовательно, прямые AM и AN совпадают.

Ответ: точки M, N и A лежат на одной прямой.