223. Решите биквадратные уравнения: а) $x^4-5x^2-36=0$; б) $y^4-6y^2+8=0$; в) $z^4+10z^2-25=0$; г) $4x^4-5x^2+1=0$; д) $9x^4-9x^2+2=0$; е) $16y^4-8y^2+1=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 223. Решите биквадратные уравнения: а) $x^4-5x^2-36=0$; б) $y^4-6y^2+8=0$; в) $z^4+10z^2-25=0$; г) $4x^4-5x^2+1=0$;…$ Фото задания

223. Решите биквадратные уравнения: а) $x^4-5x^2-36=0$; б) $y^4-6y^2+8=0$; в) $z^4+10z^2-25=0$; г) $4x^4-5x^2+1=0$; д) $9x^4-9x^2+2=0$; е) $16y^4-8y^2+1=0$.

Accepted Answer

В каждом уравнении вводим замену переменной: $t=x^2$, $t=y^2$ или $t=z^2$, причём для действительных переменных $t\geq0$.

а) $t^2-5t-36=0$, откуда $t=9$ или $t=-4$. Учитываем только $t=9$: $x=\pm3$.
б) $t^2-6t+8=0$, значит, $(t-2)(t-4)=0$. Тогда $y=\pm\sqrt2,\pm2$.
в) $t^2+10t-25=0$, откуда $t=-5\pm5\sqrt2$. Неотрицательное значение: $t=5\sqrt2-5$. Поэтому $z=\pm\sqrt{5\sqrt2-5}$.
г) $4t^2-5t+1=0$, значит, $(4t-1)(t-1)=0$. Тогда $x=\pm\frac12,\pm1$.
д) $9t^2-9t+2=0$, откуда $t=\frac13$ или $t=\frac23$. Следовательно, $x=\pm\frac{\sqrt3}{3},\pm\frac{\sqrt6}{3}$.
е) $16t^2-8t+1=0$, то есть $(4t-1)^2=0$. Тогда $y^2=\frac14$, откуда $y=\pm\frac12$.

Ответ: а) $x=\pm3$; б) $y=\pm\sqrt2,\pm2$; в) $z=\pm\sqrt{5\sqrt2-5}$; г) $x=\pm\frac12,\pm1$; д) $x=\pm\frac{\sqrt3}{3},\pm\frac{\sqrt6}{3}$; е) $y=\pm\frac12$.

223. Решите биквадратные уравнения: а) \(x^4-5x^2-36=0\); б) \(y^4-6y^2+8=0\); в) \(z^4+10z^2-25=0\); г) \(4x^4-5x^2+1=0\); д) \(9x^4-9x^2+2=0\); е) \(16y^4-8y^2+1=0\).

Ответ: