225. Решить уравнения: 1) $3^{2x+6}=2^{x+8}$; 2) $5^{x-2}=4^{2x-4}$; 3) $2^x\cdot3^x=36^{x^2}$; 4) $9^{-\sqrt{x-1}}=\frac1{27}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 225. Решить уравнения: 1) $3^{2x+6}=2^{x+8}$; 2) $5^{x-2}=4^{2x-4}$; 3) $2^x\cdot3^x=36^{x^2}$; 4)…$ Фото задания

225. Решить уравнения: 1) $3^{2x+6}=2^{x+8}$; 2) $5^{x-2}=4^{2x-4}$; 3) $2^x\cdot3^x=36^{x^2}$; 4) $9^{-\sqrt{x-1}}=\frac1{27}$.

Accepted Answer

1) Логарифмируем обе части: $(2x+6)\ln3=(x+8)\ln2$. Переносим слагаемые с $x$: $x(2\ln3-\ln2)=8\ln2-6\ln3$. Следовательно, $x=\frac{8\ln2-6\ln3}{2\ln3-\ln2}$.

2) Заметим, что $4^{2x-4}=16^{x-2}$. Тогда $5^{x-2}=16^{x-2}$, то есть $\left(\frac5{16}\right)^{x-2}=1$. Основание не равно 1, значит, $x-2=0$, откуда $x=2$.

3) Перепишем уравнение: $6^x=36^{x^2}=(6^2)^{x^2}=6^{2x^2}$. Так как основания равны и больше 1, $x=2x^2$. Тогда $x(2x-1)=0$, откуда $x=0$ или $x=\frac12$.

4) Область определения: $x\ge1$. Представим обе части как степени тройки: $3^{-2\sqrt{x-1}}=3^{-3}$. Поэтому $2\sqrt{x-1}=3$, то есть $\sqrt{x-1}=\frac32$. Возводим в квадрат: $x-1=\frac94$, значит, $x=\frac{13}{4}$. Это значение удовлетворяет области определения.

Ответ: 1) $x=\frac{8\ln2-6\ln3}{2\ln3-\ln2}$; 2) $x=2$; 3) $x=0,\frac12$; 4) $x=\frac{13}{4}$.

225. Решить уравнения: 1) \(3^{2x+6}=2^{x+8}\); 2) \(5^{x-2}=4^{2x-4}\); 3) \(2^x\cdot3^x=36^{x^2}\); 4) \(9^{-\sqrt{x-1}}=\frac1{27}\).

Ответ: