Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 229. Решить неравенства: 1) 5^(x−1) ≤ √5; 2) 3^(x/2) > 9; 3) 3^(x²−4) ≥ 1; 4) 5^(x²) · 5^(x−18) < 1.Фото задания

Ответ:

  1. Запишем \(\sqrt5=5^{1/2}\). Поскольку основание 5 больше 1, сравниваем показатели: \(x-1\leq 1/2\), откуда \(x\leq 3/2\).

  2. Запишем \(9=3^2\). Тогда \(3^{x/2}>3^2\), значит, \(x/2>2\), откуда \(x>4\).

  3. Так как \(1=3^0\), а основание 3 больше 1, получаем \(x^2-4\geq 0\). Разложим на множители: \((x-2)(x+2)\geq 0\). Следовательно, \(x\leq -2\) или \(x\geq 2\).

  4. Объединим степени с одинаковым основанием: \(5^{x^2}\cdot 5^{x-18}=5^{x^2+x-18}\). Поскольку \(1=5^0\) и основание больше 1, требуется \(x^2+x-18<0\).

    Найдём корни соответствующего квадратного трёхчлена: \(x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{73}}{2}\). Парабола направлена вверх, поэтому выражение отрицательно между корнями.

Ответ: 1) \(x\leq 3/2\); 2) \(x>4\); 3) \(x\in(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\); 4) \(x\in\left(\frac{-1-\sqrt{73}}{2},\frac{-1+\sqrt{73}}{2}\right)\).