23.4. В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Найдите градусную меру угла В, если ∠C= 11°, AK = CK.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. По условию AK = CK. Это означает, что треугольник AKC равнобедренный.
2. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, значит ∠KAC = ∠KCA = 11°.
3. Так как AK — биссектриса угла A, то ∠BAC = 2 * ∠KAC = 2 * 11° = 22°.
4. Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°. ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
5. Подставляем известные значения: 22° + ∠B + 11° = 180°.
6. Складываем известные углы: 33° + ∠B = 180°.
7. Находим угол B: ∠B = 180° - 33° = 147°.
8. Однако, если AK = CK, то треугольник AKC равнобедренный, и ∠AKC = 180° - (11° + 11°) = 180° - 22° = 158°.
9. ∠AKB = 180° - ∠AKC = 180° - 158° = 22°.
10. В треугольнике ABK: ∠B + ∠BAK + ∠AKB = 180°.
11. ∠BAK = ∠BAC - ∠KAC = 22° - 11° = 11°.
12. ∠B + 11° + 22° = 180°.
13. ∠B + 33° = 180°.
14. ∠B = 147°.
15. Но если AK=CK, то треугольник ABC прямоугольный с углом C = 90°, что противоречит условию.
16. Если AK = CK, то K — середина BC. Значит AK — медиана.
17. Если биссектриса является медианой, то треугольник ABC равнобедренный, AB = AC.
18. Тогда ∠B = ∠C = 11°.
19. ∠BAC = 180° - (11° + 11°) = 180° - 22° = 158°.
20. Биссектриса AK делит ∠BAC пополам: ∠BAK = ∠CAK = 158° / 2 = 79°.
21. В треугольнике AKC: ∠AKC = 180° - (∠CAK + ∠KCA) = 180° - (79° + 11°) = 180° - 90° = 90°.
22. Следовательно, если ∠C = 11° и AK = CK, то ∠B = 11°.

Ответ: 11°