23.7. В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Найдите градусную меру угла В, если ∠C = 13°, AK = CK.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. По условию AK = CK. Это означает, что треугольник AKC равнобедренный.
2. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: ∠KAC = ∠KCA = 13°.
3. Так как AK — биссектриса угла A, то ∠BAC = 2 * ∠KAC = 2 * 13° = 26°.
4. Сумма углов треугольника ABC равна 180°. ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
5. Подставляем известные значения: 26° + ∠B + 13° = 180°.
6. Складываем известные углы: 39° + ∠B = 180°.
7. Находим угол B: ∠B = 180° - 39° = 141°.
8. Проверим условие, что AK = CK. В равнобедренном треугольнике AKC, ∠AKC = 180° - (13° + 13°) = 180° - 26° = 154°.
9. ∠AKB = 180° - ∠AKC = 180° - 154° = 26°.
10. В треугольнике ABK: ∠B + ∠BAK + ∠AKB = 180°.
11. ∠BAK = ∠BAC - ∠KAC = 26° - 13° = 13°.
12. ∠B + 13° + 26° = 180°.
13. ∠B + 39° = 180°.
14. ∠B = 141°.
15. Если AK = CK, то K — середина BC. Значит AK — медиана.
16. Если биссектриса является медианой, то треугольник ABC равнобедренный, AB = AC.
17. Тогда ∠B = ∠C = 13°.
18. ∠BAC = 180° - (13° + 13°) = 180° - 26° = 154°.
19. Биссектриса AK делит ∠BAC пополам: ∠BAK = ∠CAK = 154° / 2 = 77°.
20. В треугольнике AKC: ∠AKC = 180° - (∠CAK + ∠KCA) = 180° - (77° + 13°) = 180° - 90° = 90°.
21. Следовательно, если ∠C = 13° и AK = CK, то ∠B = 13°.

Ответ: 13°