23.5. В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Найдите градусную меру угла В, если ∠C= 21°, AK = CK.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. По условию AK = CK. Следовательно, треугольник AKC равнобедренный.
2. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: ∠KAC = ∠KCA = 21°.
3. Так как AK — биссектриса угла A, то ∠BAC = 2 * ∠KAC = 2 * 21° = 42°.
4. Сумма углов треугольника ABC равна 180°. ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
5. Подставляем известные значения: 42° + ∠B + 21° = 180°.
6. Складываем известные углы: 63° + ∠B = 180°.
7. Находим угол B: ∠B = 180° - 63° = 117°.
8. Проверим условие, что AK = CK. В равнобедренном треугольнике AKC, ∠AKC = 180° - (21° + 21°) = 180° - 42° = 138°.
9. ∠AKB = 180° - ∠AKC = 180° - 138° = 42°.
10. В треугольнике ABK: ∠B + ∠BAK + ∠AKB = 180°.
11. ∠BAK = ∠BAC - ∠KAC = 42° - 21° = 21°.
12. ∠B + 21° + 42° = 180°.
13. ∠B + 63° = 180°.
14. ∠B = 117°.
15. Если AK = CK, то K — середина BC. Значит AK — медиана.
16. Если биссектриса является медианой, то треугольник ABC равнобедренный, AB = AC.
17. Тогда ∠B = ∠C = 21°.
18. ∠BAC = 180° - (21° + 21°) = 180° - 42° = 138°.
19. Биссектриса AK делит ∠BAC пополам: ∠BAK = ∠CAK = 138° / 2 = 69°.
20. В треугольнике AKC: ∠AKC = 180° - (∠CAK + ∠KCA) = 180° - (69° + 21°) = 180° - 90° = 90°.
21. Следовательно, если ∠C = 21° и AK = CK, то ∠B = 21°.

Ответ: 21°