23.5. 1) Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, сумма углов которого вдвое больше суммы углов выпуклого девятиугольника? 2) В выпуклом четырёхугольнике ABCD биссектрисы углов A и B пересекаются в точке O (рис. 125). Докажите, что угол между биссектрисами этих углов равен полусумме углов C и D (∠C + ∠D ≤ 180°).

1) Сумма углов выпуклого девятиугольника равна \((9-2)\cdot180°=1260°\).

По условию сумма углов искомого многоугольника равна \(2\cdot1260°=2520°\).

Если многоугольник имеет \(n\) сторон, то \((n-2)\cdot180°=2520°\). Отсюда \(n-2=14\), поэтому \(n=16\).

2) В треугольнике AOB углы при вершинах A и B равны \(\frac{∠A}{2}\) и \(\frac{∠B}{2}\), так как AO и BO — биссектрисы.

Следовательно, угол между биссектрисами равен
\(∠AOB=180°-\frac{∠A}{2}-\frac{∠B}{2}=180°-\frac{∠A+∠B}{2}\).

Сумма углов четырёхугольника равна 360°, поэтому \(∠A+∠B=360°-(∠C+∠D)\).

Тогда
\(∠AOB=180°-\frac{360°-(∠C+∠D)}{2}=\frac{∠C+∠D}{2}\).

Ответ: 1) 16 сторон; 2) угол между биссектрисами равен \(\frac{∠C+∠D}{2}\).