23. Докажите, что при любых значениях переменной верно неравенство: 1) \(\frac{a^2}{a^4+1}\le\frac12\); 2) \(\frac{(5a+1)^2}{5}\ge4a\).

1) Так как \(a^4\ge0\), то \(a^4+1>0\). Поэтому умножим неравенство на положительное число \(2(a^4+1)\):

\[2a^2\le a^4+1.\]

Перенесём всё в одну сторону:

\[a^4-2a^2+1=(a^2-1)^2\ge0.\]

Последнее неравенство верно при любых значениях \(a\), так как квадрат неотрицателен.

2) Умножим обе части на положительное число \(5\):

\[(5a+1)^2\ge20a.\]

Перенесём всё в левую часть:

\[(5a+1)^2-20a=25a^2-10a+1=(5a-1)^2\ge0.\]

Последнее неравенство верно при любых значениях \(a\), так как квадрат неотрицателен.

Ответ: оба неравенства верны при любых значениях переменной.