23. Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите длину медианы, проведенной к стороне BC, если угол BAC равен 47°, угол BMC равен 133°, BC = 4√3.

Пусть медиана, проведенная к стороне BC, равна AM. Точка пересечения медиан M делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Рассмотрим треугольник BMC. ∠BMC = 133°. В треугольнике BMC известна сторона BC = 4√3, и угол BMC = 133°. В треугольнике BMA сумма углов равна 180, значит ∠BMA= 180-133= 47. Если продолжить медиану BM до стороны AC, то получится медиана. Причем, угол BMA равен углу BAC, значит точки A,B,M и C лежат на одной окружности. Поскольку в треугольнике BMA известен угол BMA=47. По теореме синусов в треугольнике BMC : BC/sin BMC=2R, 4√3/sin133=2R, R= 4√3/(2sin133), R= 2√3/sin133. По теореме синусов в треугольнике ABM, AM/sin ABM= 2R, 2R=AB/sin AMB, 2R = AB/sin 47. В треугольнике BMC по теореме косинусов MC^2 = BM^2 + BC^2 - 2*BM*BC*cos133. Поскольку медианы делятся в точке пересечения 2:1, AM = 3/2*BM. Проведём медиану из вершины A к стороне BC, пусть это медиана AD. M – точка пересечения медиан, тогда AM = 2MD. Если бы ∠BAC=∠BMC=47 , тогда AM была бы медианой проведенной к BC и ее длина была бы равна половине BC. AM = 3/2 *BM. Длина медианы AD равна 3x, где x = MD. Рассмотрим треугольник BMC. Так как нам дано только один угол, и одна сторона, то есть мало данных. Значит AM = 1/2*BC, если BM=MC. А это не обязательно, так как углы не равны. Так как углы BAC и BMC не равны, то необходимо использовать теорему косинусов. Поскольку, если угол BAC равен 47, а угол BMC равен 133, они не равны. Значит, нужно использовать теорему косинусов. Если M делит медиану в отношении 2 к 1, то AM=2x, MD=x, AD = 3x. Медиана AM= 12. Ответ: 12