23. На стороне AC треугольника ABC выбраны точки D и E так, что углы ADB и BEC равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки AE и CD тоже равны. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

Точки расположены на одной прямой в порядке \(A,E,D,C\).

Так как лучи \(DA\) и \(DE\) противоположны, а лучи \(EC\) и \(ED\) также противоположны, из условия \(\angle ADB=\angle BEC\) следует:

\(\angle BDE=\angle BED\).

Следовательно, треугольник \(BDE\) равнобедренный, поэтому \(BD=BE\). Значит, точка \(B\) лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \(DE\).

По условию \(AE=CD\). Обозначим эти равные отрезки через \(a\). Тогда

\(AD=AE+ED=a+ED\),

\(EC=ED+DC=ED+a\),

то есть \(AD=EC\).

Следовательно, точки \(D\) и \(E\) расположены симметрично относительно середины отрезка \(AC\). Поэтому середины отрезков \(DE\) и \(AC\) совпадают, а серединный перпендикуляр к \(DE\) является также серединным перпендикуляром к \(AC\).

Точка \(B\) лежит на этом перпендикуляре, значит, \(BA=BC\).

Следовательно, треугольник \(ABC\) равнобедренный.