23. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках N и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка NP, если AP=35, а сторона BC в 2,5 раза меньше стороны AB.

Окружность проходит через точки B, C, N, P. Значит, четырехугольник BCNP является вписанным в окружность. В вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусам. Таким образом, \(\angle\) BNC + \(\angle\) BPC = 180^{\(\circ\)} и \(\angle\) NBC + \(\angle\) NPC = 180^{\(\circ\)}.

Заметим, что углы \(\angle\) APN и \(\angle\) ABC также составляют в сумме 180 градусов, потому что четырехугольник BCNP вписан в окружность (внешний угол равен внутреннему противоположному). Это означает, что \(\angle\) APN = \(\angle\) ABC, следовательно, треугольники \(\triangle\) APN и \(\triangle\) ABC подобны по двум углам \(\angle BAC — общий\).

Обозначим длину AB как x. Тогда длина BC будет x/2.5 = 0.4x. Из подобия треугольников \(\triangle\) APN и \(\triangle\) ABC, получим пропорцию: \(\frac{NP}{BC}\) = \(\frac{AP}{AB}\).

Мы знаем, что AP = 35 и BC = 0.4x. Тогда: \(\frac{NP}{0.4x}\) = \(\frac{35}{x}\). Отсюда: NP = 0.4x * \(\frac{35}{x}\). Сокращаем x и получаем NP = 0.4 * 35.

Следовательно, NP = 14.

**Ответ:** Длина отрезка NP равна 14.