23. Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 10, а расстояния от центра окружности до хорд АВ и CD равны соответственно 12 и 5.

Решение:

Дано:

• Хорда \( AB = 10 \)
• Расстояние от центра до хорды \( AB \): \( d_1 = 12 \)
• Расстояние от центра до хорды \( CD \): \( d_2 = 5 \)

Найти:

• Длина хорды \( CD \)

Решение:

1. Пусть \( O \) — центр окружности. Проведём радиус \( R \) к концу хорды \( AB \). Перпендикуляр из центра к хорде делит хорду пополам.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом \( R \), половиной хорды \( \frac{AB}{2} \) и расстоянием от центра до хорды \( d_1 \).
3. По теореме Пифагора: \( R^2 = (\frac{AB}{2})^2 + d_1^2 \).
4. \( \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5 \).
5. \( R^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \).
6. \( R = \sqrt{169} = 13 \). Радиус окружности равен 13.
7. Теперь рассмотрим хорду \( CD \). Пусть \( \frac{CD}{2} \) — половина этой хорды, а \( d_2 = 5 \) — расстояние от центра до хорды.
8. Снова применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом \( R \), половиной хорды \( \frac{CD}{2} \) и расстоянием \( d_2 \): \( R^2 = (\frac{CD}{2})^2 + d_2^2 \).
9. Подставим известные значения: \( 13^2 = (\frac{CD}{2})^2 + 5^2 \).
10. \( 169 = (\frac{CD}{2})^2 + 25 \).
11. \( (\frac{CD}{2})^2 = 169 - 25 = 144 \).
12. \( \frac{CD}{2} = \sqrt{144} = 12 \).
13. Длина хорды \( CD = 2 \cdot 12 = 24 \).

Ответ: 24