24. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1 и СС1. Докажите, что углы СС1А1 и САА₁ равны. 5 из 6

Решение:

Дано:

• \( \triangle ABC \) — остроугольный.
• \( AA_1 \) и \( CC_1 \) — высоты, \( A_1 \in BC \), \( C_1 \in AB \).

Доказать:

• \( \angle CC_1A_1 = \angle CAA_1 \)

Доказательство:

1. Рассмотрим четырёхугольник \( AA_1C_1C \).
2. По условию \( AA_1 \) и \( CC_1 \) — высоты, значит, \( AA_1 \perp BC \) и \( CC_1 \perp AB \).
3. Следовательно, \( \angle AA_1C = 90^{\circ} \) и \( \angle CC_1A = 90^{\circ} \).
4. В четырёхугольнике \( AA_1C_1C \) сумма противоположных углов \( \angle AA_1C + \angle CC_1A = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \).
5. Это означает, что точки \( A, C_1, A_1, C \) лежат на одной окружности (окружности с диаметром \( AC \)).
6. Углы \( \angle CC_1A_1 \) и \( \angle CAA_1 \) являются вписанными углами в этой окружности, опирающимися на одну и ту же дугу \( A_1C_1 \).
7. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
8. Следовательно, \( \angle CC_1A_1 = \angle CAA_1 \).

Что и требовалось доказать.