23. Постройте график функции y = -5 - (x-2)/(x²-2x) и определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком общих точек.

Решение:

Упростим выражение функции:

\( y = -5 - \frac{x-2}{x(x-2)} \)

При \( x \neq 2 \) и \( x \neq 0 \):

\( y = -5 - \frac{1}{x} \)

График функции — это гипербола \( y = -\frac{1}{x} \), смещённая на 2 единицы вправо и на 5 единиц вниз.

Области определения функции: \( x \neq 0 \) и \( x \neq 2 \).

Рассмотрим поведение функции:

• При \( x \to 0^+, y \to -\infty \)
• При \( x \to 0^-, y \to +\infty \)
• При \( x = 2 \) функция не определена. Значение, которое функция «не достигает» в точке разрыва, можно найти, подставив \( x=2 \) в упрощённое выражение: \( y = -5 - \frac{1}{2} = -5.5 \)

График функции будет иметь вид гиперболы \( y = -5 - \frac{1}{x} \) с «выколотыми» точками при \( x=0 \) (асимптота) и \( x=2 \).

Прямая \( y = m \) не имеет общих точек с графиком, если она проходит через «выколотую» точку, то есть если \( m = -5.5 \).

Ответ: \( m = -5.5 \).