23. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 10, а одна из диагоналей ромба равна 40. Найдите углы ромба.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половина известной диагонали равна \(20\). Пусть половина второй диагонали равна \(q\). Тогда сторона ромба равна \(\sqrt{20^2+q^2}\).

Площадь ромба равна \(\dfrac{40\cdot2q}{2}=40q\), а полупериметр — \(2\sqrt{400+q^2}\). Расстояние от центра до стороны — радиус вписанной окружности, поэтому \(10=\dfrac{S}{p}=\dfrac{40q}{4\sqrt{400+q^2}}\).

Отсюда \(20q=10\sqrt{400+q^2}\), значит \(4q^2=400+q^2\), \(q=\dfrac{20}{\sqrt3}\).

Диагонали ромба делят его углы пополам. Для половины острого угла \(\alpha/2\) имеем \(\tan(\alpha/2)=\dfrac{q}{20}=\dfrac1{\sqrt3}\). Следовательно, \(\alpha/2=30^\circ\), а острый угол равен \(60^\circ\). Соседний угол равен \(180^\circ-60^\circ=120^\circ\).

Ответ: углы ромба — 60° и 120°.