23. Тип 5 № 775 Дачник собирал дождевую воду в бак. Первая часть бака заполнилась со скоростью, в 2 раза меньшей, чем средняя скорость заполнения всего бака. Но затем дождь усилился, и скорость заполнения оставшейся части бака выросла в 3 раза по сравнению со скоростью заполнения его первой части. Скорость заполнения — это количество литров воды, попадающих в бак за один час. 1) Чему равно отношение времён, затраченных на заполнение первой и второй частей бака? 2) Найдите отношение объёмов второй и первой частей бака.

Решение:

Пусть \( V \) — общий объём бака, \( v \) — средняя скорость заполнения всего бака. Тогда время заполнения всего бака \( T = \frac{V}{v} \).

1. 1) Отношение времён, затраченных на заполнение первой и второй частей бака.
   Скорость заполнения первой части бака: \( v_1 = \frac{v}{2} \).
   Время заполнения первой части бака: \( t_1 = \frac{V_1}{v_1} \), где \( V_1 \) — объём первой части.
   Скорость заполнения второй части бака: \( v_2 = 3 v_1 = 3 \frac{v}{2} \).
   Время заполнения второй части бака: \( t_2 = \frac{V_2}{v_2} \), где \( V_2 \) — объём второй части.
   Общее время: \( T = t_1 + t_2 \).
   \( \frac{V}{v} = \frac{V_1}{v/2} + \frac{V_2}{3v/2} \)
   \( \frac{V}{v} = \frac{2V_1}{v} + \frac{2V_2}{3v} \)
   Умножим на \( v \): \( V = 2V_1 + \frac{2}{3}V_2 \).
   Также \( V = V_1 + V_2 \).
   Подставим \( V \) во второе уравнение: \( V_1 + V_2 = 2V_1 + \frac{2}{3}V_2 \)
   \( V_2 - \frac{2}{3}V_2 = 2V_1 - V_1 \)
   \( \frac{1}{3}V_2 = V_1 \)
   \( V_2 = 3V_1 \).
   Теперь найдём отношение времён: \( \frac{t_1}{t_2} = \frac{V_1/v_1}{V_2/v_2} = \frac{V_1}{v_1} \times \frac{v_2}{V_2} = \frac{V_1}{v/2} \times \frac{3v/2}{3V_1} = \frac{2V_1}{v} \times \frac{3v}{6V_1} = \frac{6V_1v}{6V_1v} = 1 \).
   Отношение времён равно 1:1.
2. 2) Отношение объёмов второй и первой частей бака.
   Из предыдущего пункта мы нашли, что \( V_2 = 3V_1 \).
   Отношение объёмов: \( \frac{V_2}{V_1} = \frac{3V_1}{V_1} = 3 \).

Ответ: 1) 1; 2) 3.