23. Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла в прямоугольном треугольнике ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH = 15.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Пусть \(O\) — центр окружности с диаметром \(BH\). Так как \(AB\perp CB\), точки \(P\) и \(K\) лежат на взаимно перпендикулярных сторонах.

Радиус-вектор точки \(H\) имеет координаты \((HP,HK)\) в этих перпендикулярных направлениях. Поэтому по теореме Пифагора:

\[BH^2=HP^2+HK^2.\]

Отрезок \(PK\) также является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \(HP\) и \(HK\), значит:

\[PK^2=HP^2+HK^2=BH^2.\]

Следовательно, \(PK=BH=15\).

Ответ: 15.