23. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Решение:

1. Площадь трапеции вычисляется по формуле: S = (a + b) / 2 ⋅ h, где a и b — основания трапеции, а h — высота.
2. Известны основания: a = 3 и b = 9.
3. Необходимо найти высоту h.
4. Опустим высоту из верхнего левого угла трапеции на нижнее основание. В получившемся прямоугольном треугольнике один угол равен 45°, а противолежащий катет (высота h) и прилежащий катет связаны.
5. Разность оснований равна 9 - 3 = 6. Этот отрезок делится на два равных отрезка по бокам от средней линии, так как трапеция равнобедренная. Значит, прилежащий катет равен 6 / 2 = 3.
6. Так как угол равен 45°, то второй острый угол в прямоугольном треугольнике равен 90° - 45° = 45°. Следовательно, треугольник равнобедренный, и высота h равна прилежащему катету.
7. Высота h = 3.
8. Теперь подставляем значения в формулу площади: S = (3 + 9) / 2 ⋅ 3.
9. S = 12 / 2 ⋅ 3.
10. S = 6 ⋅ 3 = 18.

Ответ: 18