239. Случайный эксперимент заключается в пятикратном бросании симметричной монеты. Найдите вероятность события: a) «решка выпадет ровно 3 раза»; б) «орёл выпадет от двух до четырёх раз»; в) «решка выпадет либо 1 раз, либо 3 раза»; г) «орёл выпадет нечётное число раз».

Для решения этой задачи воспользуемся формулой Бернулли: P(k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k), где n - число испытаний, k - число успехов, p - вероятность успеха в одном испытании. В нашем случае n=5, p=0.5.

a) Вероятность выпадения решки ровно 3 раза:
\[P(3) = C(5, 3) \times (0.5)^3 \times (0.5)^2 = 10 \times 0.125 \times 0.25 = 0.3125\]

б) Вероятность выпадения орла от двух до четырёх раз равна сумме вероятностей выпадения 2, 3 и 4 орлов:
\[P(2) = C(5, 2) \times (0.5)^2 \times (0.5)^3 = 10 \times 0.25 \times 0.125 = 0.3125\]
\[P(3) = 0.3125\] (рассчитано выше)
\[P(4) = C(5, 4) \times (0.5)^4 \times (0.5)^1 = 5 \times 0.0625 \times 0.5 = 0.15625\]
\[P(2 \le орлов \le 4) = 0.3125 + 0.3125 + 0.15625 = 0.78125\]

в) Вероятность выпадения решки либо 1 раз, либо 3 раза:
\[P(1) = C(5, 1) \times (0.5)^1 \times (0.5)^4 = 5 \times 0.5 \times 0.0625 = 0.15625\]
\[P(1 \text{ или } 3) = 0.15625 + 0.3125 = 0.46875\]

г) Вероятность выпадения орла нечётное число раз (1, 3 или 5 раз):
\[P(1) = 0.15625\]
\[P(3) = 0.3125\]
\[P(5) = C(5, 5) \times (0.5)^5 = 1 \times 0.03125 = 0.03125\]
\[P(\text{нечетное число орлов}) = 0.15625 + 0.3125 + 0.03125 = 0.5\]