#23 При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,3, а при каждом последующем 0,4. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,97

Решение:

Обозначим вероятность уничтожения цели при первом выстреле как \( P_1 = 0.3 \).

Вероятность уничтожения цели при каждом последующем выстреле равна \( P_{n} = 0.4 \) для \( n \ge 2 \).

Вероятность того, что цель НЕ будет уничтожена после \( k \) выстрелов:

• После 1-го выстрела: \( Q_1 = 1 - P_1 = 1 - 0.3 = 0.7 \).
• После 2-го выстрела: \( Q_2 = Q_1 \times (1 - P_2) = 0.7 \times (1 - 0.4) = 0.7 \times 0.6 = 0.42 \).
• После 3-го выстрела: \( Q_3 = Q_2 \times (1 - P_3) = 0.42 \times (1 - 0.4) = 0.42 \times 0.6 = 0.252 \).
• После 4-го выстрела: \( Q_4 = Q_3 \times (1 - P_4) = 0.252 \times (1 - 0.4) = 0.252 \times 0.6 = 0.1512 \).
• После 5-го выстрела: \( Q_5 = Q_4 \times (1 - P_5) = 0.1512 \times (1 - 0.4) = 0.1512 \times 0.6 = 0.09072 \).
• После 6-го выстрела: \( Q_6 = Q_5 \times (1 - P_6) = 0.09072 \times (1 - 0.4) = 0.09072 \times 0.6 = 0.054432 \).
• После 7-го выстрела: \( Q_7 = Q_6 \times (1 - P_7) = 0.054432 \times (1 - 0.4) = 0.054432 \times 0.6 = 0.0326592 \).
• После 8-го выстрела: \( Q_8 = Q_7 \times (1 - P_8) = 0.0326592 \times (1 - 0.4) = 0.0326592 \times 0.6 = 0.01959552 \).

Вероятность уничтожения цели после \( k \) выстрелов равна \( P_{total} = 1 - Q_k \).

Нам нужно, чтобы \( P_{total} \ge 0.97 \), то есть \( 1 - Q_k \ge 0.97 \), что равносильно \( Q_k \le 0.03 \).

Из расчетов видно, что \( Q_8 = 0.01959552 \), что меньше 0.03.

Значит, потребуется 8 выстрелов.

Ответ: 8.