24.4. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Для решения этого задания нужно проанализировать каждое неравенство и сопоставить его с представленным на числовой прямой решением.

• A) \( \log_2(x-1) < 1 \)
  Чтобы логарифм был меньше 1, его аргумент должен быть меньше \( 2^1 = 2 \). Кроме того, аргумент логарифма должен быть больше нуля: \( x-1 > 0 \) => \( x > 1 \). Получаем: \( 1 < x < 2 \). Это соответствует решению 1.
• Б) \( 3^{-2x} > \frac{1}{9} \)
  Перепишем \( \frac{1}{9} \) как \( 3^{-2} \). Тогда неравенство будет \( 3^{-2x} > 3^{-2} \). Так как основание степени (3) больше 1, показатель степени в левой части должен быть больше показателя в правой: \( -2x > -2 \) => \( x < 1 \). Это соответствует решению 2.
• В) \( \frac{x-1}{(x-3)^2} > 0 \)
  Знаменатель \( (x-3)^2 \) всегда положителен, кроме \( x=3 \). Значит, неравенство сводится к \( x-1 > 0 \) и \( x \neq 3 \). Получаем \( x > 1 \) и \( x \neq 3 \). На числовой прямой это выглядит как \( (1; 3) \cup (3; \infty) \). Это соответствует решению 4.
• Г) \( x^2 - 4x + 3 \le 0 \)
  Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 4x + 3 = 0 \). По теореме Виета, \( x_1 + x_2 = 4 \) и \( x_1 x_2 = 3 \). Корни: \( x_1 = 1, x_2 = 3 \). Парабола \( y = x^2 - 4x + 3 \) ветвями вверх, поэтому \( x^2 - 4x + 3 \le 0 \) при \( 1 \le x \le 3 \). Это соответствует решению 3.

Ответ: А-1, Б-2, В-4, Г-3