24. Биссектрисы углов C и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке S, лежащей на стороне AB. Докажите, что S — середина AB.

Обозначим \(AB=CD=a\), \(AD=BC=d\). В параллелограмме соседние углы дополнительны, поэтому их внутренние биссектрисы перпендикулярны. Рассмотрим треугольник \(CDS\): поскольку \(S\) лежит на прямой \(AB\), а \(AB\parallel CD\), углы между \(CS\) и \(CD\), а также между \(DS\) и \(CD\) равны половинам углов C и D. Их сумма равна \(90^\circ\), следовательно, \(\angle CSD=90^\circ\).

Треугольники \(CDS\) и \(ABS\) подобны: их углы при S равны, а стороны \(CD\) и \(AB\) параллельны. При этом \(CD=AB=a\), поэтому коэффициент подобия равен 1 и \(CS=AS\), \(DS=BS\). Также из равенства треугольников получаем \(AS=SB\).

Значит, S — середина AB.