24. Докажите, что расстояние от точки пересечения высот треугольника до каждой вершины вдвое больше, чем расстояние от центра окружности, описанной около треугольника, до стороны, противолежащей указанной вершине треугольника.

Пусть в треугольнике \(ABC\) точка пересечения высот — \(H\), а центр описанной окружности — \(O\). Обозначим радиус описанной окружности через \(R\).

Из известного векторного свойства ортоцентра: если начало координат поместить в точку \(O\), то
\[\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}.\]

Рассмотрим вершину \(A\). Расстояние от \(O\) до стороны \(BC\) равно \(R|\cos A|\): это расстояние от центра окружности до хорды \(BC\). С другой стороны, из формулы для ортоцентра и скалярного произведения с единичным вектором, перпендикулярным \(BC\), получаем
\[AH=2R|\cos A|.\]

Следовательно,
\[AH=2\,d(O,BC).\]

Аналогично доказываются равенства
\[BH=2\,d(O,CA),\qquad CH=2\,d(O,AB).\]

Что и требовалось доказать.