24. На сторонах AB и CD параллелограмма ABCD (рис. 60) отмечены точки K и F такие, что ∠ADK = ∠CBF. Докажите, что четырёхугольник KBFD — параллелограмм.

Рассмотрим треугольники \(ADK\) и \(CBF\).

1. Так как \(AB\parallel CD\), то \(AK\parallel CF\). Кроме того, \(AD\parallel BC\). Поэтому \(\angle DAK=\angle BCF\).
2. По условию \(\angle ADK=\angle CBF\).
3. Следовательно, треугольники \(ADK\) и \(CBF\) подобны по двум углам.
4. В параллелограмме \(ABCD\) противоположные стороны равны: \(AD=BC\). Поэтому коэффициент подобия равен 1, и соответствующие стороны равны: \(AK=CF\), \(DK=BF\).
5. Так как \(AB=CD\), из равенств \(AK=CF\) получаем \(KB=FD\).
6. Отрезки \(KB\) и \(FD\) лежат на параллельных прямых \(AB\) и \(CD\), значит, \(KB\parallel FD\). Также из равенства углов \(\angle ADK=\angle CBF\) и параллельности \(AD\parallel BC\) следует, что \(DK\parallel BF\).

В четырёхугольнике KBFD противоположные стороны попарно параллельны: \(KB\parallel FD\) и \(BF\parallel DK\). Следовательно, KBFD — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.