24. Найдите площадь треугольника ABC, если: а) ∠A = α, а высоты, проведённые из вершин B и C, соответственно равны h_b и h_c; б) ∠A = α, ∠B = β, а высота, проведённая из вершины B, равна h.

а) Обозначим \(AB=c\), \(AC=b\). По определению высот, \(h_b=c\sin\alpha\) и \(h_c=b\sin\alpha\). Площадь \(S=\frac12bc\sin\alpha\). Следовательно, \(bc=\frac{h_bh_c}{\sin^2\alpha}\), и

\[S=\frac{h_bh_c}{2\sin\alpha}.\]

б) Пусть высота из \(B\) опущена на сторону \(AC\). Тогда \(h=AB\sin\alpha\), откуда \(AB=\frac{h}{\sin\alpha}\). По теореме синусов \(\frac{AC}{\sin\beta}=\frac{AB}{\sin(\alpha+\beta)}\), поэтому \(AC=\frac{h\sin\beta}{\sin\alpha\sin(\alpha+\beta)}\). Используя \(S=\frac12 AC\cdot h\), получаем

\[S=\frac{h^2\sin\beta}{2\sin\alpha\sin(\alpha+\beta)}.\]

Ответ: а) \(\frac{h_bh_c}{2\sin\alpha}\); б) \(\frac{h^2\sin\beta}{2\sin\alpha\sin(\alpha+\beta)}\).