24. Окружности с центрами в точках S и Т не имеют общих точек, ни одна из них не лежит внутри другой, а их радиусы относятся как а:в. Докажите, что внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b.

1. Пусть радиусы окружностей равны $$r_1 = a$$ и $$r_2 = b$$. Пусть точка пересечения касательной с отрезком ST будет M.

2. Проведем радиусы из центров S и T к точкам касания на общей касательной. Эти радиусы перпендикулярны касательной.

3. Рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных центрами, точками касания и точкой M. По теореме о подобных треугольниках, отношение отрезков ST, на которые точка M делит ST, равно отношению радиусов: $$SM/MT = r_1/r_2 = a/b$$.

Доказано.