25. Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания АС. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

1. Пусть $$r$$ - радиус вписанной окружности, $$R=8$$ - радиус внешней окружности. Основание $$AC = 12$$. Так как треугольник равнобедренный, высота $$BH$$ делит $$AC$$ пополам, $$AH = HC = 6$$.

2. Пусть $$O$$ - центр внешней окружности. Так как окружность касается $$AC$$, расстояние от $$O$$ до $$AC$$ равно $$R=8$$. Пусть $$BH$$ - высота. Точка $$O$$ лежит на оси симметрии треугольника.

3. Пусть $$h$$ - высота $$BH$$. Площадь треугольника $$S = (1/2) * AC * h = 6h$$. Также $$S = r * p$$, где $$p$$ - полупериметр. $$p = (AB + BC + AC)/2 = (AB + 6 + 6) = AB + 6$$.

4. Рассмотрим подобие треугольников. Пусть $$BK$$ - высота, проведенная из $$B$$ к $$AC$$. Пусть $$O$$ - центр внешней окружности. Пусть $$OD$$ - перпендикуляр из $$O$$ к $$AB$$. $$OD = R = 8$$. Треугольник $$ADO$$ подобен треугольнику $$AKB$$. $$AO/AB = OD/BK = R/h$$. $$AO = \sqrt{AH^2 + (h-R)^2} = \sqrt{6^2 + (h-8)^2}$$.

5. Из подобия: $$\sqrt{36 + (h-8)^2} / AB = 8/h$$. $$AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{36 + h^2}$$. Подставляя, получаем: $$\sqrt{36 + (h-8)^2} / \sqrt{36 + h^2} = 8/h$$. Решая это уравнение, находим $$h$$. Затем находим $$AB$$, $$p$$, и $$r = S/p = 6h / (AB+6)$$.