Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 25. Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается…Фото задания

Ответ:

Решение:

Дано:

  • \( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( AB = BC \)
  • \( AC = 12 \)
  • Окружность с центром \( O \) и радиусом \( R = 8 \)
  • Окружность касается основания \( AC \) в точке \( K \) (точка касания основания).
  • Окружность касается продолжений боковых сторон \( AB \) и \( BC \).

Найти:

  • Радиус вписанной окружности \( r \)

Решение:

  1. Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный и окружность касается основания \( AC \) в точке \( K \), то \( K \) является серединой \( AC \). \( AK = KC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} · 12 = 6 \).
  2. Центр \( O \) окружности лежит на перпендикуляре к \( AC \), проходящем через \( K \). Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный, то высота \( BK \) совпадает с осью симметрии, и центр \( O \) лежит на \( BK \).
  3. Радиус окружности \( OK = R = 8 \).
  4. Рассмотрим \( \triangle KOC \). Это прямоугольный треугольник, так как \( OK ⊥ AC \).
  5. \( KC = 6 \), \( OK = 8 \).
  6. По теореме Пифагора найдем \( OC \):
  7. \( OC^2 = OK^2 + KC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \)
  8. \( OC = \sqrt{100} = 10 \).
  9. Так как \( BK \) — высота, \( BK ⊥ AC \). \( O \) лежит на \( BK \).
  10. Пусть \( BO = x \). Тогда \( BK = BO + OK = x + 8 \) (если \( O \) между \( B \) и \( K \)), или \( BK = |x - 8| \).
  11. Пусть \( O \) выше \( B \). Тогда \( BK = OK - OB = 8 - x \). (Нет, O вне треугольника).
  12. Так как окружность касается продолжений боковых сторон, то \( O \) находится вне треугольника.
  13. Пусть \( B \) между \( O \) и \( K \). Тогда \( BK = OK - OB = 8 - OB \).
  14. Пусть \( O \) выше \( B \). Тогда \( OB = OK - BK = 8 - BK \).
  15. Пусть \( B \) лежит между \( O \) и \( K \). Тогда \( BK = OK - OB = 8 - OB \).
  16. Пусть \( K \) лежит между \( O \) и \( B \). Тогда \( BK = OB - OK = OB - 8 \).
  17. Пусть \( O \) лежит выше \( B \), а \( B \) выше \( K \). Тогда \( BK = OB - OK = OB - 8 \).
  18. Пусть \( O \) лежит выше \( B \) и \( K \). \( BK = OB - OK = OB - 8 \).
  19. Рассмотрим \( \triangle ABC \). Высота \( BK \). \( AK = 6 \).
  20. В равнобедренном треугольнике \( \tan(\angle BAC) = \frac{BK}{AK} \).
  21. Рассмотрим \( \triangle OAC \). \( OK = 8 \), \( KC = 6 \), \( OC = 10 \).
  22. Пусть \( \angle C = \gamma \). В \( \triangle KOC \): \( \tan(\angle KCO) = \frac{OK}{KC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \).
  23. \( ∠ C \) в \( \triangle ABC \) — это \( \angle KCO \).
  24. \( ∠ C = ∠ A \). \( \tan(\angle C) = \frac{4}{3} \).
  25. Найдем \( BK \) (высоту \( \triangle ABC \)).
  26. В \( \triangle BKC \): \( \tan(\angle C) = \frac{BK}{KC} \)
  27. \( \frac{4}{3} = \frac{BK}{6} \)
  28. \( BK = 6 · \frac{4}{3} = 8 \).
  29. Теперь найдем площадь \( \triangle ABC \):
  30. \( S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} · AC · BK = \frac{1}{2} · 12 · 8 = 48 \).
  31. Найдем длину боковой стороны \( BC \). \( BC^2 = BK^2 + KC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \)
  32. \( BC = 10 \).
  33. \( AB = BC = 10 \).
  34. Периметр \( P = AB + BC + AC = 10 + 10 + 12 = 32 \).
  35. Радиус вписанной окружности \( r \) находится по формуле: \( r = \frac{S}{p} \), где \( S \) — площадь, \( p \) — полупериметр.
  36. \( p = \frac{P}{2} = \frac{32}{2} = 16 \).
  37. \( r = \frac{48}{16} = 3 \).

Ответ: 3.