24. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Доказательство:

Рассмотрим трапецию ABCD, где BC || AD.

Проведем диагональ BD.

Рассмотрим треугольники \( \triangle CBD \) и \( \triangle BDA \).

1. Углы \( \angle CBD \) и \( \angle BDA \) являются накрест лежащими при параллельных прямых BC и AD и секущей BD. Следовательно, \( \angle CBD = \angle BDA \).
2. Углы \( \angle CDB \) и \( \angle DBC \) не обязательно равны.
3. Углы \( \angle BCD \) и \( \angle DAB \) не обязательно равны.
4. Углы \( \angle BAC \) и \( \angle ACD \) являются накрест лежащими при параллельных прямых BC и AD и секущей AC. Следовательно, \( \angle BAC = \angle ACD \).
5. Углы \( \angle BCA \) и \( \angle CAD \) являются накрест лежащими при параллельных прямых BC и AD и секущей AC. Следовательно, \( \angle BCA = \angle CAD \).
6. Углы \( \angle ADB \) и \( \angle DBC \) являются накрест лежащими при параллельных прямых BC и AD и секущей BD. Следовательно, \( \angle ADB = \angle DBC \).

Таким образом, в треугольниках \( \triangle CBD \) и \( \triangle BDA \) равны две пары углов:

• \( \angle CBD = \angle BDA \) (как накрест лежащие при BC || AD и секущей BD)
• \( \angle CDB = \angle DBA \) (как накрест лежащие при BC || AD и секущей BD)

Поэтому треугольники \( \triangle CBD \) и \( \triangle BDA \) подобны по двум углам (второму признаку подобия треугольников).

Доказано.