25. Углы при одном из оснований трапеции равны 80° и 10°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 20 и 17. Найдите основания трапеции.

Решение:

Пусть основания трапеции равны \( a \) и \( b \) ($$a > b$$), а углы при одном из оснований равны \( 80^{\circ} \) и \( 10^{\circ} \). Это означает, что большее основание — то, при котором расположены эти углы.

Пусть \( m \) и \( n \) — отрезки, соединяющие середины противоположных сторон. Один из этих отрезков является средней линией трапеции, а другой — линией, соединяющей середины диагоналей.

Средняя линия трапеции \( k = \frac{a+b}{2} \).

Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен \( \frac{|a-b|}{2} \).

Из условия задачи мы имеем два значения: 20 и 17. Это может быть либо \( k=20 \) и \( \frac{|a-b|}{2}=17 \), либо \( k=17 \) и \( \frac{|a-b|}{2}=20 \).

Рассмотрим первый случай:

1. \( \frac{a+b}{2} = 20 \implies a+b = 40 \)
2. \( \frac{a-b}{2} = 17 \implies a-b = 34 \)

Сложим два уравнения:

(a + b) + (a - b) = 40 + 34

2a = 74

\( a = 37 \)

Подставим \( a=37 \) в первое уравнение:

37 + b = 40

\( b = 3 \)

Проверим, соответствуют ли эти основания заданным углам. Углы при основании \( a \) равны \( 80^{\circ} \) и \( 10^{\circ} \). Для того чтобы углы при основании были такими, трапеция должна быть неравнобедренной, что возможно.

Рассмотрим второй случай:

1. \( \frac{a+b}{2} = 17 \implies a+b = 34 \)
2. \( \frac{a-b}{2} = 20 \implies a-b = 40 \)

Сложим два уравнения:

(a + b) + (a - b) = 34 + 40

2a = 74

\( a = 37 \)

Подставим \( a=37 \) в первое уравнение:

37 + b = 34

\( b = -3 \)

Основание трапеции не может быть отрицательным, поэтому этот случай невозможен.

Таким образом, основания трапеции равны 37 и 3.

Ответ: Основания трапеции равны 37 и 3.